C. Dérivation.

Introduction. La dérivation de fonction est une opération fondamentale en analyse mathématique. Elle permet d’étudier les propriétés locales et globales d’une fonction (sens de variation, extrema, concavité,... ), de construire des tangentes à sa courbe représentative, etc...

S’il existe, le nombre dérivé d’une fonction réelle ƒ de la variable réelle x en un point a du domaine de ƒ est égal au coefficient directeur de la tangente au graphe de ƒ au point a :

Historique. La notion de dérivée est apparue au XVIIe siècle avec les travaux de Leibniz et Newton sur le calcul différentiel et intégral, avec les idées d’infiniment petit et de sommes dites intégrales. Au XVIIIe siècle, d’Alembert introduit la définition du nombre dérivé comme limite du taux d’accroissement de la fonction. C’est Weierstrass au XIXe siècle qui introduit le concept de dérivée à partir de la notion de limite.

Dérivée d'une fonction en un point.

Définition.

Equation de la tangente au point (a,f(a)).

La tangente à la courbe représentative de la fonction ƒ au point (a,ƒ(a)) vérifie l’équation : y = ƒ’(a) (x − a) + ƒ(a). On constate facilement que cette droite passe par le point (a,ƒ(a)) et qu’elle possède pour pente ƒ’(a).

Exemples.

Une fonction peut avoir des dérivées à droite et à gauche d’un point a qui sont différentes. Exemple, la fonction |x| en 0.

    Le point (0,0) est dit “point anguleux”.

On va voir plus loin que Wolfram|Alpha n’a aucun problème pour calculer les dérivées de fonctions en un point en appliquant la définition. Exemple du calcul de la dérivée de cos(x) en π/2, qui comme chacun sait est égale à -sin(π/2), ce que confirme Wolfram|Alpha :

Fonction dérivable sur un intervalle.

Définition. Si f est dérivable en chaque point de l’intervalle réel I, on dit que f est dérivable sur I.

Définition. Si f est dérivable sur l’intervalle I, on appelle « fonction dérivée » de f, la fonction notée f’, qui à tout x ∈ I associe le nombre f’(x) dérivé de f en x. Cette fonction f’(x) est alors définie sur I et on a :
                            f’ : I → R
                                 x → f’(x)

Dérivées des fonctions usuelles et opérations sur les dérivées.

Opérations sur les dérivées.

Soient λ un réel, f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors les fonctions f + g , λ f, f×g et f/g (en tout point x∈I où g(x)≠0) sont dérivables sur I et on a :

( f + g )' = f' + g'

( λ f )’ = λ f’     

( f g )’ = f’ g + f g’

( f / g )’ = 


Dérivées usuelles.

Les propriétés suivantes se démontrent sans problème :

(x^n)' = n x^(n-1)

Ln(x)’ = 1/x     

sin(x)’ = cos(x)

cos(x)’ = - sin(x)

tg(x)’ = 1/cos(x)^2 = 1+tg(x)^2

Wolfram|Alpha est d’ailleurs incollable dans ce domaine, n’hésitez pas à le mettre à contribution...

Dérivée d’une fonction composée.

Théorème. Soient deux fonctions f et g telles que f soit définie sur un intervalle I de R, et g soit définie en f(x), ∀x ∈ I.
Si f est dérivable sur I et g est dérivable en f(x), ∀x ∈ I, alors la composée f ◦ g des 2 fonctions est dérivable sur I et ∀x ∈ I, (f ◦ g)’(x) = f’(g(x)) × g’(x).
Ce théorème est important dans la mesure où il permet de décomposer les calculs de dérivées parfois compliqués.

Relation entre dérivabilité et continuite.

Animations.

En tant que limite en un point réel a, la dérivée donne la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. En faisant varier l’abscisse du point a à l’aide du curseur et en traçant la pente de la tangente quand a varie, on obtient la courbe de droite qui représente la fonction dérivée. La partie gauche de l’animation affiche la pente au point a lorsque a varie. A droite est tracé la pente (la dérivée) en fonction de a. Testez l’animation pour les différentes fonctions proposées. Attachez vous à bien comprendre la façon dont est créée la fonction dérivée.

Exercices.

A l’aide de Wolfram|Alpha, vérifiez les opérations précédentes sur les dérivées ainsi que les calculs des dérivées usuelles. Exemple:

On remarque que Wolfram|Alpha utilise la notation de Leibniz = ( ƒ(x)+g(x) ) pour écrire la dérivée.

Applications des dérivées.

Sens de variation d’une fonction.

Théorème. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle réel I ouvert.

Si la dérivée f' est nulle sur I, alors f est constante sur I

Si la dérivée f' est positive (strictement positive) sur I, alors f est croissante (strictement croissante) sur I

Si la dérivée f' est négative (strictement négative) sur I, alors f est décroissante (strictement décroissante) sur I.


Théorème. Soit f deux fois dérivable sur I et a∈I tel que f’(a)=0, alors

si f’’(a)<0, la fonction admet un minimum local en a (on dit que f est convexe en a).

si f’’(a)>0, la fonction admet un maximum local en a  (on dit que f est concave en a).

si f’’(a) = 0 :

a peut être l’abscisse d’un maximum, par exemple f : x→ −x^2 en a=0,

a peut être l’abscisse d’un minimum, par exemple f : x→ x^2 en a=0,

ou bien, a peut être un point d'inflexion.

Définition. Si la dérivée seconde de f s'annule en x=a en changeant de signe, alors la courbe représentative de f présente un point d'inflexion en x=a. Par exemple, la courbe représentative de la fonction f(x) = x^3 présente un point d'inflexion en x=0. On a: f'’(x)=6x, elle s’annule en x=0 en changeant de signe.


Animation représentant le polynome de degré 5 : f(x) = 0.01 x^5 - 0.015 x^4 - 0.21 x^3 + 0.2 x^2 + 0.5 x - 0.5 et ses 4 premières dérivées.
Les boutons radio sélectionnent le nombre de dérivées. Le curseur permet de parcourir le domaine de variation.

Extremum local.

Théorème. Soit f une fonction réelle définie et dérivable sur un intervalle réel I=]a,b[. Si f admet un extremum local en c∈I, alors f’(c) = 0.
Ce résultat est important dans l’étude des propriétés d’une fonction, il est du à Pierre de Fermat.

La réciproque de ce théorème est fausse : une fonction dérivable de dérivée nulle en un point peut ne pas y admettre d’extremum, exemple f : x → x^3. On a bien f’(0) = 0 mais l’origine n’est pas un extrémum, c’est un point d’inflexion comme on vient de le voir plus haut...

L'animation suivante illustre le théorème de Fermat. Si vous faites varier c sur l'axe des abscisses, alors aux points (c,f(c)) correspondant à un extremum (minimum ou maximum) de la fonction, la dérivée s'annule. La pente de la tangente en ces points est nulle :

L’animation suivante montre le lien entre la tangente à une fonction continue f en un point Q=(x, f(x)) et la droite sécante passant par Q et par un autre point P=(x+h, f(x+h)). Lorsque h→0, les points Q et P se rapprochent et la droite sécante QP se rapproche de la droite tangente en Q.

Faites varier h avec le curseur pour constater ce fait sur les 3 exemples de fonctions proposées dans cette animation :

L’apport de Wolfram|Alpha.

Bien que n’ayant pas pour l’instant de commande particulière pour obtenir directement le tableau de variation d’une fonction, Wolfram|Alpha possède toutes les fonctionnalités pour le construire: domaine, ensemble image, parité, périodicité, calcul de limites (discontinuités, asymptotes...), calcul de dérivées première et seconde (extremum, sens de variation, point d’inflexion)... 


Exemple: étude de la fonction tangente.

On commence par tracer la fonction dans [-π,π], on remarque une périodicité qu’on va préciser

On demande ensuite le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction. 
On remarque que les points π/2+kπ, k∈Z ne font pas partie du domaine de définition :

On demande la periodicité éventuelle de la fonction. On retrouve que tg(x) à pour période π :

On calcule les points où tg(x) s’annule, on trouve tg(x)=0 si x=nπ, n∈Z :

On demande quelles sont les discontinuités éventuelles de la fonction. 
Wolfram|Alpha répond que tg(x) est discontinue en x=(n+1/2) π/2, n∈Z et que ces discontinuités sont de type infinies pour x fini :

Wolfram|Alpha nous donne aussi les asymptotes correspondant aux discontinuités de la fonction:

On étudie le comportement de la fonction en ces discontinuités en calculant les limites en ±π/2. 
Wolfram|Alpha est précis lorsqu’il nous dit que les limites infinies à gauche et à droite de ±π/2 sont différentes :

On calcule maintenant la dérivée première de la fonction pour avoir des information sur le sens de variation et les extrema éventuels.
(on rappelle que la fonction secante(x) que Wolfram|Alpha utilise est donnée par : sec(x)=1/cos(x)...)


La dérivée première ne s’annule jamais: tg(x)’ = 1/cos(x)^2 = sec(x)^2 est strictement positive. La fonction tg(x) est strictement croissante.

On peut confirmer l’étude du signe avec WA, grace à la fonction Sign.

Dans la commande suivante, remarquez la syntaxe D( tan(x), x ) pour calculer la dérivée première de la fonction par rapport à x. 
On retrouve que le signe de tg(x)' calculé par WA est positf. Le graphique indique les points de discontinuités de la fonction en π/2+nπ, n∈Z.

On calcule maintenant la dérivée seconde ainsi que son signe. 
Pour déterminer le signe, remarquez la syntaxe D( tan(x), {x,2} ) pour calculer la dérivée seconde de la fonction par rapport à x.

Sur ]-π,π[, a dérivée seconde est négative sur ]-π/2, 0] (concave) et positive sur [0, π/2[ (convexe). Au point (0,0), la tangente à la courbe représentative traverse la courbe, sa pente est égale à 1. On retrouve ces résultats à la question suivante où on calcule explicitement le signe de la dérivée seconde :


On constate donc que la dérivée seconde s’annule en changeant de signe aux points n π, n∈Z. Ces points sont des points d’inflexion de tg(x). En ces points la fonction tg(x) s’annule et sa dérivée (pente) vaut 1.


Conclusion.

On constate que Wolfram|Alpha est un auxiliaire précieux dans l'étude des fonctions.

Etant donné que ses fonctionnalités ne cessent de se développer, on peut envisager que ce moteur de requètes devienne un assistant incontournable dans le domaine des sciences exactes.

Questions.

Les questions suivantes sont à résoudre à l’aide de Wolfram|Alpha.

Construire le tableau de variation de la fonction réelle f(x) = 1/(x^2-1)

Calculez les dérivées des fonctions suivantes aux points a spécifiés :

en a=0 (comprenez-vous la réponse donnée par WA ?)

x^3 en a=1

sin(x) en a=0

sin(x)/x en a=0

sin(exp(x)) en a=0

log(x)/x en a=1

Created with Wolfram Mathematica 8.0