C. Dérivation.
correction.
Exercices.
A l’aide de Wolfram|Alpha, vérifiez les propriétés suivantes :
Soient λ un réel, f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors les fonctions f + g , λ f, f×g et f/g (en tout point x∈I où g(x)≠0) sont dérivables sur I et on a :
( f + g )' = f' + g'
On remarque que Wolfram|Alpha utilise la notation de Leibniz pour écrire la dérivée: 
= 
( ƒ(x)+g(x) ) . On peut obtenir des détails sur les calculs effectués par WA en cliquant sur l'option: Step-by-step solution en haut à droite de la fenêtre...
( f g )’ = f’ g + f g’
( f / g )’ = 
Calcul de dérivées usuelles.
(x^n)' = n x^(n-1)
Ln(x)’ = 1/x
tg(x)’ = 1/cos(x)^2 = 1+tg(x)^2
On remarque que WA utilise la fonction sec(x)=1/cos(x) pour donner le résultat...
Questions.
Construire le tableau de variation de la fonction réelle f(x) = 1/(x^2-1)
- on commence par tracer la fonction avec WA:
WA propose 2 tracés dans des domaines de vaiables différents. On remarque que la fonction présente des discontinuités en -1 et +1
- on demande ensuite le domaine de définition et l'ensemble image de la fonction.
x = ±1 ne font pas partie de l'ensemble de définition, de plus les nombres de l'intervalle réel ]-1,0] n'ont pas d'antécédents,
On peut confirmer cela en calculant la réciproque (ou inverse) :
qui s'écrit aussi ±√(x+1)/x et n'est clairement pas définie si x appartient à ]-1,0]...
- la fonction ne présente pas de périodicité et ne s'annule jamais.
Précisons ses discontinuités.
en ±1 la fonction présente des discontinuités infinies.
Si on clique sur l'option Show limits, on obtient le détail sur la nature de ces discontinuités...
- demandons à WA quelles sont les asymptotes à la courbe représentative.
l'axe des abscisses est une asymptote horizontale, les droites x=-1 et x=+1 sont 2 asymptotes verticales à la courbe représentative de la fonction.
- WA nous a déjà donné le comportement limite près des discontinuités.
On calcule maintenant la dérivée première de la fonction pour avoir des informations sur le sens de variation et les extrema éventuels.
la dérivée première s'annule au point (0,-1) où elle est continue.
Elle est positive à gauche de ce point (la fonction est croissante) et négative à droite (la fonction est décroissante): (0,-1) est donc un maximum local.
- On calcule maintenant la dérivée seconde.
la dérivée seconde ne s'annule jamais.
Elle est positive à gauche de x=-1 et à droite de x=+1, la fonction est donc localement convexe dans ces domaines.
Par contre elle est négative lorsque x appartient à l'intervalle ]-1,+1[, la fonction est donc concave dans cet intervalle.
On a ainsi obtenu tous les ingrédients nécessaires à la réalisation du tableau de variation...
Calculez les dérivées des fonctions suivantes aux points a spécifiés :
en a=0 (comprenez-vous la réponse donnée par WA ?)
la réponse donnéee par WA est claire: on nous dit que la limite permettant de calculer la dérivée en x=0 n'existe pas
A gauche de 0, on a un infini complexe négatif (racine carrée d'une quantité négative) et à droite, un infini positif.
On sait que la fonction dérivée de √x est 1/2√x et qu'elle n'est pas définie en 0...
x^3 en a=1
là aussi, la réponse donnéee par WA est claire.
x^3 est continue et dérivable en 1. La dérivée est égale à 3 x^2 = 3 pour x=1.
sin(x)/x en a=0
la réponse donnée par WA est claire.
Cette dérivée n'est pas calculable par notre formule car elle fait intervenir la forme indéterminée 0/0.
Or, on sait (paragraphes sur les limites et la continuité) que la fonction f(x)=sin(x)/x est prolongeable par continuité en 0 et qu'on peut écrire f(0)=1. Utilisant cela, on obtient le bon résultat:
Le calcul de la dérivée de la fonction sin(x)/x est simple :
la limite lorsque x->0 de cette expression est égale à 0.
On peut demander à WA de nous montrer les détails de son calcul (bouton Step-by-step solution):
sin(exp(x)) en a=0
La fonction sin(exp(x)) est définie, continue et dérivable sur R, on peut vérifier le résultat obtenu ainsi:
log(x)/x en a=1
La fonction Ln(x)/x est définie, continue et dérivable en x=1, on peut vérifier le résultat obtenu ainsi:
